计算机中使用泰勒公式计算周期函数

计算机只能算加法，那你有没有想过计算机是怎样计算象sinx这样的周期函数？

要想明白这个原理，那你必须知道泰勒公式（高等代数）：

f(x) = f(x₀) + f’(x₀)/1!*(x-x₀)¹ + f’’(x₀)/2!*(x-x₀)² + f’’’(x₀)/3!*(x-x₀)³ ……+ f⁽ⁿ⁾(x)/n!*(x-x₀)ⁿ + R_n(x)

其中

R_n(x) = f(§)/(n+1)!*(x-x₀)⁽ⁿ⁺¹⁾，x<§ <x₀ 或x₀<§ <x

f’(x), f’’(x), ……f⁽ⁿ⁾(x)导数

要想证明泰勒公式，你必须先知道拉革朗日中值定理；要想知道拉革朗日中值定理，你必须知道导数；要想知道导数，你又必须知道极限。所以说要想成为未来的电脑高手，学数学是很重要的。

说回来，你要想看证明，可以去买本高数的书来看。这里不证。

特殊的，我们令x₀ = 0

于是，就得到了麦克劳林公式

f(x) = f(0) + f’(0)/1!*x¹ + f’’(0)/2!*x² + f’’’(0)/3!*x³ ……+ f⁽ⁿ⁾(0)/n!*xⁿ + R_n(x)

其中

R_n(x) = f(§)/(n+1)!*x⁽ⁿ⁺¹⁾，x<§ <x₀ 或x₀<§ <x

f’(x), f’’(x), ……f⁽ⁿ⁾(x)导数

因为R_n(x)是xⁿ 的高阶无穷小，所以

f(x) ≈ f(0) + f’(0)/1!*x¹ + f’’(0)/2!*x² + f’’’(0)/3!*x³ ……+ f⁽ⁿ⁾(0)/n!*xⁿ

n值越大，精确度越高。

这样，我们就将一个复杂的函数f(x)化成了计算机能计算的多项式。

例：sinx

实践证明，对于sin(x), 当n=5时，sin(x)在[0, pi/2] 范围内已经很精确了。

f(0) = 0,

f’(0) = 1,

f’’(0) = 0,

f’’’(0) = -1,

f⁽⁴⁾(0) = 0,

f⁽⁵⁾(0) = 1

所以，sin(x) = x – 1/3!*x³ + 1/5!*x⁵ = x – 1/6*x³ + 1/120*x⁵

当x的值不在[0, pi/2] 范围内时，可以根据sin(x)的周期性把x转换到[0, pi/2] 范围内。

代码：

const double PI = 3.1415926;

double my_sin(double r)

{

double s = 1.0;

while(r > 2*PI)

r -= 2*PI;

while(r < 0)

r += 2*PI;

if(r<= PI/2)

{

s = 1;

}

else if(r <= PI)

{

s = 1;

r = PI - r;

}

else if(r <= PI*3/2)

{

s = -1;

r = r - PI;

}

else if(r <= 2*PI)

{

s = -1;

r = 2*PI - r;

}

else

{

return 2; // return error

}

return s*(r - (1.0/6.0)*pow(r,3) + (1.0/120.0)*pow(r,5)); //if you use pow(), you should include <cmath>

}